Question

已知{a_n}为等比数列，a₁=1，a₄=27．S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=3，S₅=35．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根据{a_n}为等比数列，a₁=1，a₄=27，确定数列的公比q=3，利用S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=3，S₅=35，可得数列的公差，从而可求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法可求数列的和．

解答：解：（1）设等比数列的公比为q
∵{a_n}为等比数列，a₁=1，a₄=27，∴公比q=3，∴an=3n-1，（3分）
设等差数列{b_n}的公差为d，
∵S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=3，S₅=35，∴15+10d=35，∴d=2
∴b_n=2n+1．                                                      （6分）
（2）T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=3×1+5×3+…+（2n-1）×3^n-2+（2n+1）×3^n-1①
3Tn=3×3+5×32+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n②
①-②得：-2Tn=3+2×(3+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n（9分）
∴Tn=n•3n（12分）

点评：本题考查数列的通项，考查数列的求和，确定数列中的基本量，利用错位相减法求数列的和是关键．