Question

【题目】某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB＝50米，，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且,如图所示.

（Ⅰ）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；

（Ⅱ）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据三角函数定义及勾股定理，即可表示出EF长度，进而用α表示出周长。根据点E、F的极限位置，判断出角的大小范围得到定义域。

（Ⅱ）利用三角函数换元，将周长转化为关于t的函数，结合角α的范围求得t的范围，进而得到l的范围，即为费用最低时的长度。

（Ⅰ）∵在中，,∴

在中，，∴

又，

∴即.

当点F在点D时，这时角最小，求得此时；

点E在C点时，这时角最大，求得此时.故此函数的定义域为

（Ⅱ）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长l最小值即可.

由（Ⅰ）得，，

设，则，∴

由，得，∴，

从而，当，即BE＝25时，

所以当 米时，铺路总费用最低，最低总费用为元