Question

如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥
平面ABCD， SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．

（Ⅰ）求SC与平面ASD所成的角余弦；
（Ⅱ）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

本试题主要是考查了线面角的大小的求解和二面角平面角的大小的求解的综合运用。
（1）因为利用空间直角坐标系，建立后表示点的坐标得到向量的坐标，从而利用平面的法向量和直线的方向向量来表示线面角的求解。
（2）同上结合平面的法向量来表示二面角的平面角的大小，从而得到向量的夹角相等或者互补。
解：（Ⅰ）如图建系，

S(0,0,2), C(2,2,0), D(1,0,0),
，故平面ASD的一个法向量为……………3分
设SC与平面ASD所成的角为则
故，即SC与平面ASD所成的角余弦为…………………6分
（Ⅱ）平面SAB的一个法向量为
设平面SCD的一个法向量为
由令z=1可得平面SCD的一个法向量为
显然，平面SAB和平面SCD所成角为锐角，不妨设为则
即平面SAB和平面SCD所成角的余弦………………12分