Question

已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如图），而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA分为m：n，设AB=1．
（1）求A'B'C'D'的面积；
（2）求证A'B'C'D'的面积不小于

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由题意设AA'=mt，A'B=nt，通过mt+nt=1，∴t=

1

m+n

．推出A'B'C'D'的面积的表达式；
（2）利用配方把（1）的面积转化为

m2+n2

(m+n)2

-

1

2

=

(m-n)2

2(m+n)2

≥0，从而证明A'B'C'D'的面积不小于

1

2

．

解答：解（1）：设AA'=mt，A'B=nt
又mt+nt=1，∴t=

1

m+n

．
在直角△D'AA'中，
D'A'²=D'A²+AA'²=m²t²+n²t²
=（m²+n²）t²
而正方形A'B'C'D'的面积=D′A′2=(m2+n2)t2=

m2+n2

(m+n)2

．
（2）证明：∵

m2+n2

(m+n)2

-

1

2

=

2(m2+n2)-(m+n)2

2(m+n)2

=

(m-n)2

2(m+n)2

≥0
∴

m2+n2

(m+n)2

≥

1

2

．

点评：本题是基础题，考查平面几何的知识点，正方形的面积的求法，作差法证明A'B'C'D'的面积不小于

1

2

．是本题的难点，注意把握．