Question

19．如图，直线l为一森林的边界，AC⊥l，AC=6，B为AC的中点．野兔与狼分别于A、B同时匀速奔跑，其中野兔的速度是狼的两倍．如果狼比野兔提前或同时跑到某一点，则就认为野兔在这点能被狼抓住．野兔是沿着AD直线奔跑的．问直线l上的点D处在什么位置时，野兔在AD上不可能被狼抓住？

Answer 1

分析 由题意，建立下面直角坐标系x0y，并设M（x，y），野兔在AD上不可能被狼则：$\frac{|BM|}{v}$＞$\frac{|AM|}{2v}$由此不等式得出2|BM|＞|AM|，用两点间距离公式将此不等式用坐标表示出来，整理出方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：如图所示，建立平面直角坐标系x0y，并设M（x，y）．
则A（0，6），B（0，3），D（a，0），（a＞0）
野兔在AD上不可能被狼则：$\frac{|BM|}{v}$＞$\frac{|AM|}{2v}$．
即2|BM|＞|AM|
∴2$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$＞$\sqrt{{x}^{2}+（y-6）^{2}}$
两边平方，整理得：x²+y²-4y＞0
即：x²+（y-2）²＞4，
所以，野兔在AD上不可能被狼抓住的区域为圆的外部，
直线AD的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{6}=1$，即6x+ay-6a=0，
圆心（0，2）到直线的距离d=$\frac{|0+2a-6a|}{\sqrt{{6}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{|4a|}{\sqrt{36+{a}^{2}}}$＞2，
平方得a²＞12，
即a＞2$\sqrt{3}$或a＜-2$\sqrt{3}$（舍）．
直线l上的点D处在距离大于2$\sqrt{3}$时，野兔在AD上不可能被狼抓住．

点评 本题考查求轨迹方程，由于题设条件比较抽象，解答本题，关键是建立起合适的模型，本题考查了以形助数能力及转化化归的能力，难度较大．