【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC=1,点P是棱BB1上一点,满足 (0≤λ≤1).
(1)若λ= ,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值;
(2)若二面角P﹣A1C﹣B的正弦值为 ,求λ的值.
【答案】
(1)解:以A为坐标原点O,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,
建立空间直角坐标系O﹣xyz.
∵AB=AC=1,AA1=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),
A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2λ)
由 得,
,
,
,
设平面A1BC的法向量为 =(x1,y1,z1),由
,得
取z1=1,则x1=y1=2,从而平面A1BC的一个法向量为 =(2,2,1).
设直线PC与平面A1BC所成的角为θ,
则sinθ=|cos< ,
>|=
=
,
∴直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为
(2)解:设平面PA1C的法向量为 =(x2,y2,z2),
,
由 ,得
取z2=1,则x2=2﹣2λ,y2=2,平面PA1C的法向量为 =(2﹣2λ,2,1).
则cos< ,
>=
=
,
又∵二面角P﹣A1C﹣B的正弦值为 ,∴
化简得λ2+8λ﹣9=0,解得λ=1或λ=﹣9(舍去),
故λ的值为1.
【解析】(1)以A为坐标原点O,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz,利用向量法能求出直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值.(2)求出平面PA1C的法向量和平面PA1C的法向量,利用向量法能求出λ的值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
.
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【题目】(I)已知函数f(x)=rx﹣xr+(1﹣r)(x>0),其中r为有理数,且0<r<1.求f(x)的最小值;
(II)试用(I)的结果证明如下命题:设a1≥0,a2≥0,b1 , b2为正有理数,若b1+b2=1,则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2;
(III)请将(II)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当α为正有理数时,有求导公式(xα)r=αxα﹣1 .
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【题目】如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:
(1)BE=EC;
(2)ADDE=2PB2 .
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【题目】已知点P(x0,3)与点Q(x0,4)分别在椭圆=1与抛物线y2=2px(p>0)上.
(1)求抛物线的方程;
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1≤0,y2≤0)是抛物线上的两点,∠AQB的角平分线与x轴垂直,求直线AB在y轴上的截距的取值范围.
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【题目】已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1,sn是数列{an}的前n项和,且满足:
anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1(λ≠0,n∈N )
(1)若a1 , a2 , a3成等比数列,求实数λ的值;
(2)若λ= ,求Sn .
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【题目】“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:
项目 | 男性 | 女性 | 总计 |
反感 | 10 | ||
不反感 | 8 | ||
总计 | 30 |
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关?
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:K2=
.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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【题目】已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.
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【题目】如图,已知椭圆的离心率是
,一个顶点是
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,
是椭圆
上异于点
的任意两点,且
.试问:直线
是否恒过一定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由.
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【题目】太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美,定义:能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆
的一个“太极函数”,则下列有关说法中:
①对于圆的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数;
②函数是圆
的一个太极函数;
③存在圆,使得
是圆
的一个太极函数;
④直线所对应的函数一定是圆
的太极函数;
⑤若函数是圆
的太极函数,则
所有正确的是__________.
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