设函数f(x)的定义域为R.若存在常数M＞0.使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立.则称f(x)为“倍约束函数．现给出下列函数:①f(x)=2-|x|, ②f(x)=2sin2x-3sin2x-1, ③f(x)=xx2-x+3,④f(x)是定义在实数集R上的奇函数.且对一切x1.x2均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|．其中是“倍约束� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2-|x|；
②f（x）=2sin²x-

sin2x-1；
③f（x）=

x2-x+3

；
④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是“倍约束函数”的有（　　）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，易知f（x）=2-|x|≤2，即其值域为（-∞，2]，可判断①；
②，利用降幂公式与辅助角公式可得f（x）=2sin²x-

sin2x-1=-2sin（2x+

），依题意可判断②；
③，通过对x的取值范围，分x=0、x＞0与x＜0三类讨论，利用基本不等式可得f（x）=

x2-x+3

的取值范围，从而可判断③；
④，依题意，不妨令f（x）=2x，可判断④．

解答： 解：对于①，f（x）=2-|x|≤2，不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，故①不是“倍约束函数”；
对于②，f（x）=2sin²x-

sin2x-1=-cos2x-

sin2x=-2sin（2x+

），|f（x）|≤2，
故存在常数M=2，使|f（x）|≤2|x|对一切实数x均成立，故②是“倍约束函数”；
对于③，f（x）=

x2-x+3

，当x=0时，f（x）=0；
当x＞0，0＜f（x）=

-1

≤

-1

；
当x＜0时，0＞f（x）=

-1

≥

-2

-1

；
故存在常数M=

，使|f（x）|≤

|x|对一切实数x均成立，故③是“倍约束函数”；
对于④，依题意，曲线y=f（x）上任意一点的切线的斜率k≤2，不妨令f（x）=2x，存在常数M=2＞0，k≤2对一切实数x均成立，故④是“倍约束函数”；
综上所述，是“倍约束函数”的有3个，
故选：C．

点评：本题考查函数的性质的综合应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力、运算能力的综合应用，属于难题．

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