Question

如图，将一块直角三角形板ABO放置于平面直角坐标系中，已知AB=BO=2，AB⊥OB．点P（1，

1

2

）是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN，设直线MN的斜率k．
（Ⅰ）试用k表示△AMN的面积S，并指出k的取值范围；
（Ⅱ）试求S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，先求直线MN，OA的方程，可解得 N(2，k+

1

2

)，M(

1 2 -k

1-k

，

1 2 -k

1-k

)．且 -

1

2

≤k≤

1

2

，
从而可求 |AN|=

3

2

-k，|AM|=

2 ( 3 2 -k)

1-k

．进而可求△AMN的面积S．
（Ⅱ）求导函数S′=

(3-2k)(2k-1)

8(1-k)2

，可知S=f（k）在[-

1

2

，

1

2

]上是减函数，从而可求S取得最大值．

解答：解：（Ⅰ）根据题意可得，MN：y=k(x-1)+

1

2

，OA：y=x，
解得 N(2，k+

1

2

)，M(

1 2 -k

1-k

，

1 2 -k

1-k

)．且 -

1

2

≤k≤

1

2

，
于是 |AN|=

3

2

-k，|AM|=

2 ( 3 2 -k)

1-k

．
所以 S=

1

2

|AN||AM|sin45°=

1

2

•(

3

2

-k)•

2 ( 3 2 -k)

1-k

•

2

2

=

(3-2k)2

8(1-k)

．
故S=

(3-2k)2

8(1-k)

，(-

1

2

≤k≤

1

2

)．
（Ⅱ）S′=

(3-2k)(2k-1)

8(1-k)2

，
因为当-

1

2

≤k≤

1

2

时，S'≤0，
故S=f（k）在[-

1

2

，

1

2

]上是减函数．
所以当k=-

1

2

时，S取得最大值

4

3

．

点评：本题考查的重点是函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是利用三角形的面积公式，构建函数关系式．