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抛物线C的方程为y=ax2(a<0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于
A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足
BM
MA
,证明线段PM的中点在y轴上.
分析:(Ⅰ)由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得,焦点坐标为(0,
1
4a
)
,准线方程为y=-
1
4a

(Ⅱ)设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),直线PB的方程为y-y0=k1(x-x0).点P(x0,y0)和点A(x1,y1)的坐标是方程组
y-y0=k1(x-x0)①
y=ax2
的解.于是x1+x0=
k1
a
,故x1=
k1
a
-x0
,又点P(x0,y0)和点B(x2,y2)的坐标是方程组
y-y0=k2(x-x0)④
y=ax2
的解.于是x2+x0=
k2
a
,故x2=
k2
a
-x0
.由此能够证明线段PM的中点在y轴上.
解答:解:(Ⅰ)由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得,焦点坐标为(0,
1
4a
)
,准线方程为y=-
1
4a

(Ⅱ)证明:设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),直线PB的方程为y-y0=k1(x-x0).
点P(x0,y0)和点A(x1,y1)的坐标是方程组
y-y0=k1(x-x0)①
y=ax2
的解.
将②式代入①式得ax2-k1x+k1x0-y0=0,于是x1+x0=
k1
a
,故x1=
k1
a
-x0

又点P(x0,y0)和点B(x2,y2)的坐标是方程组
y-y0=k2(x-x0)④
y=ax2
的解.
将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0.于是x2+x0=
k2
a
,故x2=
k2
a
-x0

由已知得,k2=-λk1,则x2=-
λ
a
k1-x0
.  ⑥
设点M的坐标为(xM,yM),由
BM
MA
,则xM=
x2x1
1+λ

将③式和⑥式代入上式得xM=
-x0x0
1+λ
=-x0
,即xM+x0=0.
∴线段PM的中点在y轴上.
点评:本题考查抛物线的焦点坐标和准线方程的求法,证明线段PM的中点在y轴上.解题时要熟练掌握抛物线的性质,认真审题,合理地进行等价转化.
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(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足
BM
MA
,证明线段PM的中点在y轴上;
(Ⅲ)当λ=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.

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(1)设直线AB上一点M,满足
BM
MA
,证明线段PM的中点在y轴上;
(2)当λ=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.

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已知抛物线C的方程为y=x2,过(0,1)点的直线l与C相交于点A,B,证明:OA⊥OB(O为坐标原点)

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