Question

光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B所走过的路线长．

Answer 1

分析：求出点A关于l的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从A到B所走过的路线长．

解答：解：设点A关于l的对称点为A′（x₀，y₀），
∵AA′被l垂直平分，∴

x0+2 2 + y0+3 2 +1=0 y0-3 x0-2 =1

，解得

x0=-4 y0=-3

∵点A′（-4，-3），B（1，1）在反射光线所在直线上，
∴反射光线的方程为

y+3

1+3

=

x+4

1+4

，即4x-5y+1=0，
解方程组

4x-5y+1=0 x+y+1=0

得入射点的坐标为（-

2

3

，-

1

3

）．
由入射点及点A的坐标得入射光线方程为

y+ 1 3

3+ 1 3

=

x+ 2 3

2+ 2 3

，即5x-4y+2=0，
光线从A到B所走过的路线长为|A′B|=

(-4-1)2+(-3-1)2

=

41

．

点评：本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连线被对称轴垂直平分．