Question

2．过抛物线y²=4x的焦点F的直线与抛物线交于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点，若|AB|=5，则$\frac{1}{{x}_{1}+1}+\frac{1}{{x}_{2}+1}$的最小值是$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 利用抛物线的定义，可得x₁+x₂+2=5，利用基本不等式，可得x₁x₂≤$\frac{9}{4}$，即可求出$\frac{1}{{x}_{1}+1}+\frac{1}{{x}_{2}+1}$的最小值．

解答 解：由题意，x₁+x₂+2=5，∴x₁+x₂=3，
∴x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，∴x₁x₂≤$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}+1}+\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{5}{{x}_{1}{x}_{2}+4}$≥$\frac{5}{\frac{9}{4}+4}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}+1}+\frac{1}{{x}_{2}+1}$的最小值是$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查$\frac{1}{{x}_{1}+1}+\frac{1}{{x}_{2}+1}$的最小值，考查基本不等式的运用，正确运用抛物线的定义是关键．