分析:(理)(1)由x
1=
及x
n+1=
,得x
2=
,x
4=
,x
6=
.由x
2>x
4>x
6猜想,数列{x
2n}是递减数列.可以用数学归纳法进行证明.
(2)当n=1时,|x
n+1-x
n|=|x
2-x
1|=
,结论成立;当n≥2时,0<x
n-1<1,故1+x
n-1<2,x
n=
>
,由此能够证明|x
n+1-x
n|≤
(
)
n-1.
(文)(1)b
1=a
2-a
1=1,当n≥2时,b
n=a
n+1-a
n=
-a
n=-
(a
n-a
n-1)=-
b
n-1,故{b
n}是以1为首项,-
为公比的等比数列.
(2)由b
n=a
n+1-a
n=(-
)
n-1,知当n≥2时,a
n=a
1+(a
2-a
1)+(a
3-a
2)+…+(a
n-a
n-1)=1+1+(-
)+…+(-
)
n-2=1+
=1+
[1-(-
)
n-1]=
-
(-
)
n-1,由此能够求出{a
n}的通项公式.
解答:解:(理)(1)由x
1=
及x
n+1=
得x
2=
,x
4=
,x
6=
.
由x
2>x
4>x
6猜想,数列{x
2n}是递减数列.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,已证命题成立.
②假设当n=k时命题成立,即x
2k>x
2k+2,
易知x
n>0,那么x
2k+2-x
2k+4=
-=
x2k+3-x2k+1 |
(1+x2k+1)(1+x2k+3) |
=
x2k-x2k+2 |
(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3) |
>0,
即x
2(k+1)>x
2(k+1)+2,
也就是说,当n=k+1时命题也成立.结合①和②知,命题成立.
(2)当n=1时,|x
n+1-x
n|=|x
2-x
1|=
,结论成立;
当n≥2时,易知0<x
n-1<1,
∴1+x
n-1<2,x
n=
>
,
∴(1+x
n)(1+x
n-1)
=(1+
)(1+x
n-1)
=2+x
n-1≥
,
∴|x
n+1-x
n|=|
-|
=
≤
|x
n-x
n-1|
≤(
)
2|x
n-1-x
n-2|
≤…≤(
)
n-1|x
2-x
1|=
(
)
n-1.
(文)(1)b
1=a
2-a
1=1,
当n≥2时,b
n=a
n+1-a
n=
-a
n=-
(a
n-a
n-1)=-
b
n-1,
∴{b
n}是以1为首项,-
为公比的等比数列.
(2)由(1)知b
n=a
n+1-a
n=(-
)
n-1,
当n≥2时,a
n=a
1+(a
2-a
1)+(a
3-a
2)+…+(a
n-a
n-1)
=1+1+(-
)+…+(-
)
n-2=1+
=1+
[1-(-
)
n-1]=
-
(-
)
n-1,
当n=1时,
-
(-
)
1-1=1=a
1.
∴a
n=
-
(-
)
n-1(n∈N
*).
点评:本题考查数列与不等式的综合应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.