Question

已知数列{x_n}满足x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，n∈N^*．
（1）猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论；
（2）证明：|x_n+1-x_n|≤

1

6

（

2

5

）^n-1．
（文）已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=

an+an+1

2

，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，证明：{b_n}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（理）（1）由x₁=

1

2

及x_n+1=

1

1+xn

，得x₂=

2

3

，x₄=

5

8

，x₆=

13

21

．由x₂＞x₄＞x₆猜想，数列{x_2n}是递减数列．可以用数学归纳法进行证明．
（2）当n=1时，|x_n+1-x_n|=|x₂-x₁|=

1

6

，结论成立；当n≥2时，0＜x_n-1＜1，故1+x_n-1＜2，x_n=

1

1+xn-1

＞

1

2

，由此能够证明|x_n+1-x_n|≤

1

6

（

2

5

）^n-1．
（文）（1）b₁=a₂-a₁=1，当n≥2时，b_n=a_n+1-a_n=

an-1+an

2

-a_n=-

1

2

（a_n-a_n-1）=-

1

2

b_n-1，故{b_n}是以1为首项，-

1

2

为公比的等比数列．
（2）由b_n=a_n+1-a_n=（-

1

2

）^n-1，知当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+1+（-

1

2

）+…+（-

1

2

）^n-2=1+

1-(- 1 2 )n-1

1-(- 1 2 )

=1+

2

3

[1-（-

1

2

）^n-1]=

5

3

-

2

3

（-

1

2

）^n-1，由此能够求出{a_n}的通项公式．

解答：解：（理）（1）由x₁=

1

2

及x_n+1=

1

1+xn

得x₂=

2

3

，x₄=

5

8

，x₆=

13

21

．
由x₂＞x₄＞x₆猜想，数列{x_2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即x_2k＞x_2k+2，
易知x_n＞0，那么x_2k+2-x_2k+4=

1

1+x2k+1

-

1

1+x2k+3

=

x2k+3-x2k+1

(1+x2k+1)(1+x2k+3)

=

x2k-x2k+2

(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3)

＞0，
即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2，
也就是说，当n=k+1时命题也成立．结合①和②知，命题成立．
（2）当n=1时，|x_n+1-x_n|=|x₂-x₁|=

1

6

，结论成立；
当n≥2时，易知0＜x_n-1＜1，
∴1+x_n-1＜2，x_n=

1

1+xn-1

＞

1

2

，
∴（1+x_n）（1+x_n-1）
=（1+

1

1+xn-1

）（1+x_n-1）
=2+x_n-1≥

5

2

，
∴|x_n+1-x_n|=|

1

1+xn

-

1

1+xn-1

|
=

|xn-xn-1|

(1+xn)(1+xn-1)

≤

2

5

|x_n-x_n-1|
≤（

2

5

）²|x_n-1-x_n-2|
≤…≤（

2

5

）^n-1|x₂-x₁|=

1

6

（

2

5

）^n-1．
（文）（1）b₁=a₂-a₁=1，
当n≥2时，b_n=a_n+1-a_n=

an-1+an

2

-a_n=-

1

2

（a_n-a_n-1）=-

1

2

b_n-1，
∴{b_n}是以1为首项，-

1

2

为公比的等比数列．
（2）由（1）知b_n=a_n+1-a_n=（-

1

2

）^n-1，
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+（-

1

2

）+…+（-

1

2

）^n-2
=1+

1-(- 1 2 )n-1

1-(- 1 2 )

=1+

2

3

[1-（-

1

2

）^n-1]=

5

3

-

2

3

（-

1

2

）^n-1，
当n=1时，

5

3

-

2

3

（-

1

2

）^1-1=1=a₁．
∴a_n=

5

3

-

2

3

（-

1

2

）^n-1（n∈N^*）．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．