Question

如图，直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC=BC=5，AA′=AB=6，D、E分别为AB和BB′上的点，且

AD

DB

=

BE

EB′

=λ．
（1）求证：当λ=1时，A′B⊥CE；
（2）当λ为何值时，三棱锥A′-CDE的体积最小，并求出最小体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）λ=1时，平行四边形ABB′A′为正方形，DE⊥A′B，由已知得CD⊥AB，CD⊥A′B，由此能证明A′B⊥CE．
（2）设BE=x，则AD=x，DB=6-x，B′E=6-x．C到面A′DE距离即为△ABC的边AB所对应的，从而VA′-CDE=VC-A′DE=

1

3

(S四边形ABB′A′-S△AA′D-S△DBE-S△A′B′E)•h，由此能求出当x=3时，即λ=1时，V_A'-CDE有最小值为18．

解答： （1）证明：∵λ=1，∴D．E分别为AB和BB′的中点
又AA′=AB，且三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱．
∴平行四边形ABB′A′为正方形，∴DE⊥A′B…（2分）
∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，且三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱．
∴CD⊥平面ABB′A′，∴CD⊥A′B，…（4分）
又CD∩DE=D，∴A′B⊥平面CDE，
∵CE?平面CDE，∴A′B⊥CE．…（6分）
（2）解：设BE=x，则AD=x，DB=6-x，B′E=6-x．
由已知可得C到面A′DE距离即为△ABC的边AB所对应的高h=

AC2-( AB 2 )2

=4，…（8分）
∴VA′-CDE=VC-A′DE=

1

3

(S四边形ABB′A′-S△AA′D-S△DBE-S△A′B′E)•h
=

1

3

[36-3x-

1

2

(6-x)x-3(6-x)]•h=

2

3

(x2-6x+36)
=

2

3

[(x-3)2+27]（0＜x＜6），…（10分）
∴当x=3时，即λ=1时，V_A'-CDE有最小值为18．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查当λ为何值时，三棱锥A′-CDE的体积最小，并求出最小体积，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．