Question

10．根据下列条件求曲线的标准方程：
（1）准线方程为$x=-\frac{3}{2}$的抛物线；
（2）焦点在x轴上，且过点（2，0）、$（2\sqrt{3}，\sqrt{6}）$的双曲线．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0），准线方程为$x=-\frac{3}{2}$，所以有$-\frac{p}{2}=-\frac{3}{2}$，故p=3，即可求出抛物线方程；
（2）设所求双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），代入点的坐标，求出a，b，即可求出双曲线方程．

解答 解：（1）设抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0）．
其准线方程为$x=-\frac{3}{2}$，所以有$-\frac{p}{2}=-\frac{3}{2}$，故p=3．
因此抛物线的标准方程为 y²=6x．
（2）设所求双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），
因为点（2，0），$（2\sqrt{3}，\sqrt{6}）$在双曲线上，所以点的坐标满足方程，
由此得$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1\\ \frac{12}{a^2}-\frac{6}{b^2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=4\\{b^2}=3\end{array}\right.$，
   所求双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$．

点评 本题考查抛物线、双曲线的标准方程，考查待定系数法的运用，属于基础题．