Question

14．已知函数f（x）=msinx+ncosx（m，n为常数，m，n≠0）的一个极大值点为$\frac{π}{4}$，若函数y=f（$\frac{π}{3}$-ωx）的图象关于点（$\frac{7π}{12}$，0）中心对称，则ω的值不可能为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 13
• D． -$\frac{5}{7}$

Answer 1

分析 函数f（x）=msinx+ncosx（m，n为常数，m，n≠0）的一个极大值点为$\frac{π}{4}$，可知：x=$\frac{π}{4}$时取得最大值，于是$msin\frac{π}{4}$+n$cos\frac{π}{4}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，化为：m=n．可得f（x）=$\sqrt{2}$m$sin（x+\frac{π}{4}）$，因此函数y=f（$\frac{π}{3}$-ωx）=$\sqrt{2}m$$sin（\frac{π}{3}-ωx+\frac{π}{4}）$，由于上述函数的图象关于点（$\frac{7π}{12}$，0）中心对称，可得m•$\sqrt{2}$$sin（\frac{7π}{12}-\frac{7π}{12}ω）$=0，化为$\frac{7π}{12}$-$\frac{7π}{12}$ω=kπ，即可判断出．

解答 解：∵函数f（x）=msinx+ncosx（m，n为常数，m，n≠0）的一个极大值点为$\frac{π}{4}$，
即x=$\frac{π}{4}$时取得最大值，
∴$msin\frac{π}{4}$+n$cos\frac{π}{4}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，化为：m=n．
∴f（x）=$\sqrt{2}$m$sin（x+\frac{π}{4}）$，
∴函数y=f（$\frac{π}{3}$-ωx）=$\sqrt{2}m$$sin（\frac{π}{3}-ωx+\frac{π}{4}）$，
∵上述函数的图象关于点（$\frac{7π}{12}$，0）中心对称，
∴m•$\sqrt{2}$$sin（\frac{7π}{12}-\frac{7π}{12}ω）$=0，
∴$\frac{7π}{12}$-$\frac{7π}{12}$ω=kπ，
化为7-7ω=12k，k∈Z．
经过验证：当ω=2时，k=$\frac{-7}{12}$不是整数，不符合题意．
因此ω的值不可能为2．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．