Question

已知：向量

m

=(sinx，

3

4

)，

n

=(cosx，-1)，设函数f(x)=2(

m

+

n

)•

n

（1）求f（x）解析式；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=

3

，b=2，sinB=

6

3

，求f(x)+4cos(2A+

π

6

) (x∈[0，

π

2

])的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式、二倍角公式化简，即可求f（x）解析式；
（2）利用正弦定理求出A，进而化简表达式，利用三角函数的性质，即可得出结论．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sinx，

3

4

)，

n

=(cosx，-1)，
∴函数f(x)=2(

m

+

n

)•

n

=2（sinx+cosx）cosx+

1

2

=sin2x+cos2x+

3

2

=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

；
（2）∵a=

3

，b=2，sinB=

6

3

，
∴由正弦定理可得sinA=

asinB

b

=

2

2

，
∵a＜b，
∴A=

π

4

，
∴f（x）+4cos（2A+

π

6

）=

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）+4cos（2A+

π

6

）∈[-

3

2

，

2

-

1

2

]．

点评：本题考查向量的数量积公式、辅助角公式、二倍角公式，考查正弦定理的运用，正确化简函数是关键．