Question

已知函数f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1．
（1）求f（x）的最小正周期及振幅；
（2）试判断f(

π

6

-x)与f(

π

6

+x)的大小关系，并说明理由．
（3）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由y=Asin（ωx+φ）型函数中参数的几何意义及周期计算公式，即可得f（x）的最小正周期及振幅；（2）可以利用诱导公式分别化简两个函数式来进行证明，也可先证明x=

π

6

是函数的一条对称轴，从而证明两式相等；（3）先求内层函数的值域，再利用正弦函数的图象求函数f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值

解答：解：（1）f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，振幅A=2
（2）f(

π

6

+x)=f(

π

6

-x)
法一：因为f(

π

6

+x)=2sin(

π

3

+2x+

π

6

)+1=2sin(2x+

π

2

)+1=2cos2x+1
f(

π

6

-x)=2sin(

π

3

-2x+

π

6

)+1=2sin(

π

2

-2x)+1=2cos2x+1
所以f(

π

6

+x)=f(

π

6

-x)
法二：因为f(

π

6

)=2sin(

π

3

+

π

6

)+1=2sin

π

2

+1=3为函数的最大值，
所以x=

π

6

是函数的一条对称轴，所以f(

π

6

+x)=f(

π

6

-x)．
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴-1≤2sin(2x+

π

6

)≤2，
∴0≤f（x）≤3
∴f（x）的最小值为0； f（x）的最大值为3．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，函数的对称性和函数值域的求法，正弦函数的图象和性质及诱导公式的应用