Question

设f(x)＝x³＋ax²＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝
2a，f′(2)＝－b，其中a，b∈R.
①求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；②设g(x)＝f′(x)e^－x，求g(x)的极值．

Answer 1

①6x＋2y－1＝0. ②极小值g(0)＝－3；极大值g(3)＝15e^－3

①f′(x)＝3x²＋2ax＋b.
∵f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，
∴3＋2a＋b＝2a,12＋4a＋b＝－b.∴a＝－，b＝－3.
∴f(x)＝x³－x²－3x＋1.从而f(1)＝－.又f′(1)＝2a＝－3，
∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
②g(x)＝(3x²－3x－3)e^－x，
∴g′(x)＝(6x－3)e^－x－
e^－x(3x²－3x－3)＝(－3x²＋9x)e^－x.
令g′(x)＝0得x＝0或x＝3.
当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0；
当x∈(0,3)时，g′(x)>0；
当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0.
∴g(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,3)上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数．
当x＝0时，g(x)取得极小值g(0)＝－3；当x＝3时，g(x)取得极大值g(3)＝15e^－3