Question

设函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（1）当x∈[，]，求函数f（x）的值域；
（2）若f（）=，θ∈（0，π），求cos2θ的值．

Answer 1

解：∵sinxcosx=sin2x，cos²x=（1+cos2x）
∴f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1．
由此可得f（x）=sin（2x+）+1
（1）∵x∈[，]，∴2x+∈[，]
由此可得，当2x+=，即x=时函数的最大值为1+
当2x+=，即x=时函数的最小值为1+=．
∴当x∈[，]，函数f（x）的值域为[1+，1+]
（2）由f（）=sin（θ+）+1=，得sin（θ+）=
∵θ∈（0，π），得θ+∈（，）
∴结合sin（θ+）=且为正数，得θ+∈（，π）
因此cos（θ+）==
∴cosθ=cos[（θ+）-]=×+×=
可得cos2θ=2cos²θ-1=2×-1=．
分析：（1）利用二倍角三角函数公式，结合辅助角公式化简整理得f（x）=sin（2x+）+1，再讨论得出2x+∈[，]，结合三角函数的图象与性质即可得到函数f（x）的值域；
（2）代入（1）中的表达式，由f（）=得sin（θ+）=，结合θ∈（0，π）算出cos（θ+）=，再利用配角得到cosθ=cos[（θ+）-]=，最后利用二倍角余弦公式即可得到cos2θ的值．
点评：本题给出三角函数表达式，求函数值域并求三角函数值，着重考查了三角恒等变形、三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．