Question

【题目】已知抛物线C：x2=2py（p＞0），过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M、N两点，且|MN|=16． （Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D（0，4），若动圆P与x轴交于A、B两点，且|DA|＜|DB|，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设抛物线的焦点为 ，则直线 ， 由 ，得x2﹣2px﹣p2=0
∴x1+x2=2p，∴y1+y2=3p，
∴|MN|=y1+y2+p=4p=16，∴p=4
∴抛物线C的方程为x2=8y
（Ⅱ）设动圆圆心P（x0 ， y0），A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），则 ，
且圆 ，
令y=0，整理得： ，
解得：x1=x0﹣4，x2=x0+4，，
，
当x0=0时， ，
当x0≠0时， ，∵x0＞0，∴ ， ，∵ ，
所以 的最小值为 ．
【解析】（Ⅰ）设抛物线的焦点为 ，则直线 ，联立方程组，利用韦达定理得到x1+x2=2p，y1+y2=3p，通过|MN|=y1+y2+p=4p=16，求出p，即可求出抛物线C的方程．（Ⅱ）设动圆圆心P（x0 ， y0），A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），得到 ，圆 ，令y=0，解得x1=x0﹣4，x2=x0+4，求 的表达式，推出x0的范围，然后求解 的最小值．