Question

已知函数f（x）=2sin²（x-

π

4

）+

3

cos2x-3，x∈[

π

4

，

π

2

]
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若方程f（x）=m仅有一解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：常规题型

分析：第（1）问，首先要把函数化成标准形式，然后根据x的取值范围求函数的最大值与最小值；
第（2）问要把方程解的个数问题转化成两个图象的公共点个数，利用数形结合求解．

解答： 解：（1）f（x）=2sin²（x-

π

4

）+

3

cos2x-3
=-cos（2x-

π

2

）+

3

cos2x-2   
=

3

cos2x-sin2x-2
=2cos（2x+

π

6

）-2
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]
∴当2x+

π

6

=

2π

3

时，函数f（x）取最大值-1，
  当2x+

π

6

=π时，函数 f（x）取最小值-4．
（2）方程f（x）=m仅有一解，则函数y=f（x）的图象与函数y=m的图象仅有一个公共点，
  画出图象如图所示，由图象可知，当-

3

-2＜m≤-3或m=-4两个图象有且仅有一个公共点．
  所以m的取值范围为-

3

-2＜m≤-3或m=-4．

点评：本题考查了三解函数的最值求法，关键是化成标准形式；研究方程解的个数，关键是转化成图象的交点个数问题解决，考查了数形结合与转化的思想．