分析 (I)当a=2时,不等式f(x)≥2x+1即|x-2|≥-2x+1,对x分类讨论解出即可得出.
(II)f(2x)≥7x+a2-3,化为:f(2x)-7x≥a2-3,令g(x)=f(2x)-7x=|2x-a|+x=$\left\{\begin{array}{l}{3x-a,x≥\frac{a}{2}}\\{a-x,x<\frac{a}{2}}\end{array}\right.$,利用函数的单调性可得:当x=$\frac{a}{2}$时,g(x)有最小值,g(x)min=$g(\frac{a}{2})$=$\frac{a}{2}$.若命题成立,可得:$\frac{a}{2}≥{a}^{2}$-3,解出即可得出.
解答 解:(I)当a=2时,不等式f(x)≥2x+1即|x-2|≥-2x+1,∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥-2x+1}\\{x-2≥0}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{2-x≥-2x+1}\\{x-2<0}\end{array}\right.$,解得{x|x≥-1}.
(II)f(2x)≥7x+a2-3,化为:f(2x)-7x≥a2-3,令g(x)=f(2x)-7x=|2x-a|+x=$\left\{\begin{array}{l}{3x-a,x≥\frac{a}{2}}\\{a-x,x<\frac{a}{2}}\end{array}\right.$,
∵x∈$(-∞,\frac{a}{2})$时,g(x)单调递减;x∈$(\frac{a}{2},+∞)$时,g(x)单调递增.
∴当x=$\frac{a}{2}$时,g(x)有最小值,g(x)min=$g(\frac{a}{2})$=$\frac{a}{2}$.
若命题成立,可得:$\frac{a}{2}≥{a}^{2}$-3,解得a∈(0,2].
点评 本题考查了绝对值不等式的解法、函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,$\frac{11}{4}$-ln2] | B. | (-∞,$\frac{5}{4}$-ln2] | C. | (-∞,$\frac{5}{2}$-e${\;}^{\frac{1}{2}}$] | D. | (-∞,$\frac{15}{4}$-e${\;}^{\frac{1}{4}}$] |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ②③ | B. | ①③ | C. | ①④ | D. | ②④ |
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