Question

8．已知函数f（x）=|x-a|+4x（a＞0）
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）若x∈R时，恒有f（2x）≥7x+a²-3，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1即|x-2|≥-2x+1，对x分类讨论解出即可得出．
（II）f（2x）≥7x+a²-3，化为：f（2x）-7x≥a²-3，令g（x）=f（2x）-7x=|2x-a|+x=$\left\{\begin{array}{l}{3x-a，x≥\frac{a}{2}}\\{a-x，x＜\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，利用函数的单调性可得：当x=$\frac{a}{2}$时，g（x）有最小值，g（x）_min=$g（\frac{a}{2}）$=$\frac{a}{2}$．若命题成立，可得：$\frac{a}{2}≥{a}^{2}$-3，解出即可得出．

解答 解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1即|x-2|≥-2x+1，∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥-2x+1}\\{x-2≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2-x≥-2x+1}\\{x-2＜0}\end{array}\right.$，解得{x|x≥-1}．
（II）f（2x）≥7x+a²-3，化为：f（2x）-7x≥a²-3，令g（x）=f（2x）-7x=|2x-a|+x=$\left\{\begin{array}{l}{3x-a，x≥\frac{a}{2}}\\{a-x，x＜\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，
∵x∈$（-∞，\frac{a}{2}）$时，g（x）单调递减；x∈$（\frac{a}{2}，+∞）$时，g（x）单调递增．
∴当x=$\frac{a}{2}$时，g（x）有最小值，g（x）_min=$g（\frac{a}{2}）$=$\frac{a}{2}$．
若命题成立，可得：$\frac{a}{2}≥{a}^{2}$-3，解得a∈（0，2]．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法、函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．