Question

已知公差为d（d＞1）的等差数列{a_n}和公比为q（q＞1）的等比数列{b_n}，
满足集合{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}
（1）求通项a_n，b_n；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：
（1）∵1，2，3，4，5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数
只能是1，3，5；成公比大于1的等比数列的三个数只能是1，2，4
而{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}，
∴a₃=1，a₄=3，a₅=5，b₃=1，b₄=2，b₅=4
∴a₁=-3，d=2，b₁=，q=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-5，b_n=b₁×q^n-1=2^n-3
（2）∵a_nb_n=（2n-5）×2^n-3
∴S_n=（-3）×2^-2+（-1）×2^-1+1×2⁰++（2n-5）×2^n-3
2s_n=-3×2^-1+（-1）×2⁰+…+（2n-7）×2^2n-3+（2n-5）×2^n-2，
两式相减得-S_n=（-3）×2^-2+2×2^-1+2×2⁰++2×2^n-3-（2n-5）×2^n-2=
∴（n∈N^*）
分析：（1）结合等差数列与等比数列的项，由{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}可得a₃，a₄，a₅，b₃，b₄，b₅的值，从而可求数列的通项，
（2）由于a_n，b_n分别为等差数列、等比数列，用“乘公比错位相减”求数列的和s_n
点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，结合集合的基本运算求数列中的项，进而求通项公式，而“乘公比错位相减”求数列的和是数列求和的常考点，其结构特点是：若数列a_n，b_n分别为等差数列与等比数列，则对数列c_n=a_n•b_n求和应用此法，要注意掌握．