Question

10．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点Q，AC平分∠DAB，AP为梯形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P．
（Ⅰ）求证：PQ²=PD•PB
（Ⅱ）若AB=3，AP=2，AD=$\frac{4}{3}$，求AQ的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可证∠PAD=∠ABD，进而可证PAQ=∠AQP，可得PA=PQ，利用切割线定理即可得证．
（Ⅱ）先证明△PAD∽△PBA，从而可得PB，由切割线定理可求PD，进而可求AQ=DQ=PA-PD的值．

解答 证明：（Ⅰ）∵PA为圆的切线∴，∠PAD=∠ABD，
∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠CAD，
∴∠PAD+∠DAC=∠BAC+∠ABC，
∴∠PAQ=∠AQP，
∴PA=PQ．
∵PA为圆的切线，
∴PA²=PD•PB，
∴PQ²=PD•PB．-------------（6分）
解：（Ⅱ）∵△PAD∽△PBA，
∴$\frac{PA}{AD}=\frac{PB}{AB}∴PB=\frac{9}{2}$，
∵PA²=PD•PB，
∴$PD=\frac{8}{9}$，
∴$AQ=DQ=PA-PD=2-\frac{8}{9}=\frac{10}{9}$．-------------（12分）

点评 本题主要考查了三角形相似的性质，切割线定理的应用，考查了数形结合与转化思想，考查了计算能力，属于中档题．