Question

13．已知等比数列{a_n}中，a_n＞0，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，且b₁+b₂+b₃=3，b₁b₂b₃=-3，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由等比数列通项公式列出方程组，求出a₁q=2，从而得到（1-log₂q）（1+log₂q）=1-（log₂q）²=-3，由此能求出结果．

解答 解：∵等比数列{a_n}中，a_n＞0，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，且b₁+b₂+b₃=3，b₁b₂b₃=-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}{a}_{1}+lo{g}_{2}（{a}_{1}q）+lo{g}_{2}（{a}_{1}{q}^{2}）=3}\\{lo{g}_{2}{a}_{1}×lo{g}_{2}（{a}_{1}q）×lo{g}_{2}（a}_{1}{q}^{2}）=-3}\end{array}\right.$，
∴${（a}_{1}q）^{3}={2}^{3}$，解得a₁q=2，
∴$lo{g}_{2}（\frac{2}{q}）×lo{g}_{2}（2q）=-3$，即（1-log₂q）（1+log₂q）=1-（log₂q）²=-3，
解得log₂q=2，或log₂q=-2，
∴q=4，或q=$\frac{1}{4}$，
当q=4时${a}_{1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，${a}_{n}=\frac{1}{2}×{4}^{n-1}$．
当q=$\frac{1}{4}$时，${a}_{1}=\frac{2}{\frac{1}{4}}$=8，${a}_{n}=8×（\frac{1}{4}）^{n-1}$．
∴数列{a_n}的通项公式为${a}_{n}=\frac{1}{2}×{4}^{n-1}$或${a}_{n}=8×（\frac{1}{4}）^{n-1}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、对数运算法则的合理运用．