【题目】某生物研究所为研发一种新疫苗,在200只小白鼠身上进行科研对比实验,得到如下统计数据:
未感染病毒 | 感染病毒 | 总计 | |
未注射疫苗 | 30 | ||
注射疫苗 | 70 | ||
总计 | 100 | 100 | 200 |
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只,取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.
(Ⅰ)能否有的把握认为注射此种疫苗有效?
(Ⅱ)在未注射疫苗且未感染病毒与注射疫苗且感染病毒的小白鼠中,分别抽取3只进行病例分析,然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗情况进行核实,求抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率.
附:,,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】(Ⅰ)有的把握认为注射此种疫苗有效;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据题意,从未注射疫苗的小白鼠中任取1只,取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.可求,根据列联表可求得其他数据,运用独立性检验公式,计算即可求解;
(Ⅱ)根据题意,将抽取出来的小白鼠分别标记,列出所有基本事件,根据古典概型计算概率.
(Ⅰ)由条件知,,,,
,
所以有的把握认为注射此种疫苗有效.
(Ⅱ)由条件知将抽到的3只未注射疫苗且未感染病毒的小白鼠记为,,,将抽到的3只注射疫苗且感染病毒的小白鼠分别记为,,,从这6只小白鼠中随机抽取2只共有,,,,,,,,,,,,,,等15种可能,
抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠有,,等3种情况,
所以抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率为.
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【题目】某高速公路全程设有2n(n≥4,)个服务区.为加强驾驶人员的安全意识,现规划在每个服务区的入口处设置醒目的宣传标语A或宣传标语B.
(1)若每个服务区入口处设置宣传标语A的概率为,入口处设置宣传标语B的服务区有X个,求X的数学期望;
(2)试探究全程两种宣传标语的设置比例,使得长途司机在走该高速全程中,随机选取3个服务区休息,看到相同宣传标语的概率最小,并求出其最小值.
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【题目】已知椭圆,P是椭圆的上顶点,过点P作斜率为的直线l交椭圆于另一点A,设点A关于原点的对称点为B
(1)求面积的最大值;
(2)设线段PB的中垂线与y轴交于点N,若点N在椭圆内部,求斜率k的取值范围.
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【题目】如图,已知函数的图象与y轴交于点,与x轴交于A,B两点,其中,.
(1)求函数的解析式;
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,求函数的单调递减区间.
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【题目】把一块边长为的正六边形铁皮,沿图中的虚线(虛线与正六边形的对应边垂直)剪去六个全等的四边形(阴影部分),折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容器(焊接损耗忽略),设容器的底面边长为.
(1)若,且该容器的表面积为时,在该容器内注入水,水深为,若将一根长度为的玻璃棒(粗细忽略)放入容器内,一端置于处,另一端置于侧棱上,忽略铁皮厚度,求玻璃棒浸人水中部分的长度;
(2)求该容器的底面边长的范围,使得该容器的体积始终不大于.
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【题目】如图1,已知等边的边长为3,点,分别是边,上的点,且,.如图2,将沿折起到的位置.
(1)求证:平面平面;
(2)给出三个条件:①;②二面角大小为;③.在这三个条件中任选一个,补充在下面问题的条件中,并作答:在线段上是否存在一点,使直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.注:如果多个条件分别解答,按第一个解答给分
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【题目】如图,斜率为的直线交抛物线于两点,已知点的横坐标比点的横坐标大4,直线交线段于点,交抛物线于点.
(1)若点的横坐标等于0,求的值;
(2)求的最大值.
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