Question

设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差.
（1）若,且该数列前项和最大，求的值；
（2）若,且将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，求的值；
（3）若该数列中有一项是，则数列中是否存在不同三项（按原来的顺序）为等比数列？请说明理由.

Answer 1

（1）取最大时的值为30或31；（2）的值为或10

解析试题分析：（1）由等差数列前n项和的二次函数性质求解
（2）分类讨论思想，依次分删去第一项、第二项、第三项、第四项后成等比数列求解；
（3）考虑反证法
试题解析：（1）解法一：由已知得
∴
∵∴取最大时的值为30或31.
解法二：由已知得∴.
若取最大，则只需即解得.
∵∴当取最大时的值分别是30或31.
（2）当时，该数列的前4项可设为10、、、.
若删去第一项10，则由题意得，解得，不符合题意.
若删去第二项，则由题意得解得，符合题意.
若删去第三项，则由题意得解得，符合题意.
若删去第四项，则由题意得解得，不符合题意.
综上所述，的值为或10.
（3）设

设该数列存在不同的三项成等比数列，则
，化简得


又
将代入得这与题设矛盾
故该数列不存在不同三项（按原来的顺序）为等比数列.
考点：等差数列的定义及性质，等比数列的定义及性质