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(1)若,求及数列的通项公式;
(2)若,问:是否存在实数使得对所有成立?证明你的结论.
(1);(2)存在,

试题分析:(1)由
所以数列是等差数列,可先求数列再求数列的通项公式;也可以先根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,然后由数学归纳法证明.
(2)利用数列的递推公式构造函数
,然后结合函数的单调性,用数学归纳法证明即可.
解:(1)解法一:
再由题设条件知
从而是首项为0公差为1的等差数列,
=,即
解法二:
可写为.因此猜想.
下用数学归纳法证明上式:
时结论显然成立.
假设时结论成立,即.则

这就是说,当时结论成立.
所以
(2)解法一:设,则.
,即,解得.
下用数学归纳法证明加强命:

时,,所以,结论成立.
假设时结论成立,即
易知上为减函数,从而


再由上为减函数得.
,因此,这就是说,当时结论成立.
综上,符合条件的存在,其中一个值为.
解法二:设,则
先证:         ①
时,结论明显成立.
假设时结论成立,即
易知上为减函数,从而

这就是说,当时结论成立,故①成立.
再证:           ②
时,,有,即当时结论②成立
假设时,结论成立,即
由①及上为减函数,得


这就是说,当时②成立,所以②对一切成立.
由②得

因此
又由①、②及上为减函数得

所以解得.
综上,由②③④知存在使对一切成立.
练习册系列答案
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(本小题满分12分)
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数列满足,则________.

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