Question

已知命题p：指数函数f(x)＝(2a－6)^x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x²－3ax＋2a²＋1＝0的两个实根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

{a|<a≤3或a≥}．

解析试题分析：若p真，则f(x)＝(2a－6)^x在R上单调递减，
∴0<2a－6<1，∴3<a<，
若q真，令f(x)＝x²－3ax＋2a²＋1，则应满足
，
∴，故a>，
又由题意应有p真q假或p假q真．         6分
①若p真q假，则，a无解．
②若p假q真，则，
∴<a≤3或a≥.          6分
故a的取值范围是{a|<a≤3或a≥}．           14分
考点：指数函数的单调性；二次方程根的分布问题；复合命题真假的判断。
点评：⑴本题主要考查一个一元二次方程根的分布问题．在二次项系数不确定的情况下，一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论．
⑵设一元二次方程（）的两个实根为，，且。
① ，(两个正根)；
② ，(两个负根)；
③ (一个正根一个负根)。