Question

（2012•淮南二模）已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为PC上一点，满足|

PA

|-|

PB

|=4，|

PA

-

PB

|=10，

PA • PC

| PA |

=

PB • PC

| PB |

，且 

BI

=

BA

+λ（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

），（λ＞0），

BI • BA

BA

的值为（　　）

A．2

B．4

C．3

D．5

Answer 1

分析：根据题中向量的等式结合平面几何知识，可得I为△PAB内心．过I作IH⊥AB于H，以I为圆心，IH为半径作出△PAB内切圆如图，可得|

BH

|=

1

2

（|

PB

|+|

AB

|-|

PA

|）=3，结合向量数量积的运算公式和直角三角形中三角函数的定义，可得

BI • BA

BA

=

|BI|

cos∠IBH=

|BH|

=3．

解答：解：∵

PA • PC

| PA |

=

|PC|

cos∠APC，

PB • PC

| PB |

=

|PC|

cos∠BPC
∴由

PA • PC

| PA |

=

PB • PC

| PB |

，得cos∠APC=cos∠BPC，
∴∠APC=∠BPC，PC是∠APB的平分线
∵

BI

=

BA

+λ（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

），（λ＞0），
∴

AI

=λ（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

），（λ＞0），得I在∠CAP的平分线上
因此，I为△APB的角平分线的交点，即△PAB内切圆圆心
过I作IH⊥AB于H，以I为圆心，IH为半径，作出△PAB内切圆如图，分别切PA、PB于E、F，
∵|

PA

|-|

PB

|=4，|

PA

-

PB

|=|

AB

|=10，
∴|

BH

|=|

BF

|=

1

2

（|

PB

|+|

AB

|-|

PA

|）=

1

2

[|

AB

|-（|

PA

|-|

PB

|）]=3
Rt△BIH中，cos∠IBH=

|BH|

|BI|

，
∴

BI • BA

BA

=

|BI|

cos∠IBH=

|BH|

=3
故选C

点评：本题给出三角形的内心，求向量的投影大小，着重考查了三角形角平分线的性质、平面向量的线性运算和向量数量积公式等知识，属于中档题．