Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1= ， ∠ABC=60°．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的大小．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1 ，
在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，
∴AB⊥平面ACC1A1 ，
又A1C平面ACC1A1 ，
∴AB⊥A1C．
（2）解：如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，
由三垂线定理知BD⊥A1C，
∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角．
在Rt△AA1C中，AD=，
在Rt△BAD中，tan∠ADB==，
∴cos∠ADB=，
即二面角A﹣A1C﹣B的大小为arccos．

【解析】（1）欲证AB⊥A1C，而A1C平面ACC1A1 ， 可先证AB⊥平面ACC1A1 ， 根据三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，可知AB⊥AA1 ， 由正弦定理得AB⊥AC，满足线面垂直的判定定理所需条件；
（2）作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，则∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可．