Question

设f（x）是定义域为R的奇函数，g（x）是定义域为R的恒大于零的函数，且当x＞0时有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）．若f（1）=0，则不等式f（x）＞0的解集是

1. A.
   （-∞，-1）∪（1，+∞）
2. B.
   （-1，0）∪（0，1）
3. C.
   （-∞，-1）∪（0，1）
4. D.
   （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

C
分析：首先，因为g（x）是定义域为R的恒大于零的函数，所以f（x）＞0式的解集等价于＞0的解集．由当x＞0时有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可以证明的单调性，从而使问题得解．
解答：首先，因为g（x）是定义域为R的恒大于零的函数，所以f（x）＞0式的解集等价于＞0的解集．
下面我们重点研究的函数特性．因为当x＞0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），所以当x＞0，．也就是，当x＞0时，是递减的．
由f（1）=0得=0．所以有递减性质，（0，1）有0．
由f（x）是奇函数，f（-1）=0，x＜-1时，＞0 不等f（x）＞0式的解集是（-∞，-1）∪（0，1），
故选C．
点评：解答本题的关键是根据已知条件，结合奇函数的性质，找出函数的零点，并以零点为端点将定义域分为几个不同的区间，然后在每个区间上结合函数的单调性进行讨论，这是分类讨论思想在解决问题的巨大作用的最好体现，分类讨论思想往往能将一个复杂的问题的简单化，是高中阶段必须要掌握的一种方法．