Question

已知定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=

ax+b

x2+1

是增函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（t-1）+f（2t）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在（-1，1）上的奇函数，可得f（0）=0，从而可求b的值，根据f(

1

2

)=

2

5

，求出a的值，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用定义在（-1，1）上的奇函数f（x）是增函数，由f（t-1）+f（2t）＜0得f（t-1）＜-f（2t）=f（-2t），可得不等式组，解之，即可求解不等式．

解答：解：（Ⅰ）因为f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在（-1，1）上的奇函数，
所以f（0）=0，得b=0，
又因为f(

1

2

)=

2

5

，所以

1 2 a

( 1 2 )2+1

=

2

5

⇒a=1，
所以f(x)=

x

x2+1

；
（Ⅱ）因为定义在（-1，1）上的奇函数f（x）是增函数，由f（t-1）+f（2t）＜0得f（t-1）＜-f（2t）=f（-2t）
所以有

-1＜t-1＜1 -1＜2t＜1 t-1＜-2t

⇒

0＜t＜2 - 1 2 ＜t＜ 1 2 t＜ 1 3

，
解得0＜t＜

1

3

．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查学生的计算能力，正确运用函数的单调性是关键．