Question

【题目】某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：
根据下表信息解答以下问题：

休假次数	0	1	2	3
人数	5	10	20	15

（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有 ，解得： η＜ ，

所以，η=4或η=5

当η=4时， ，

当η=5时， P，

又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，

所以 ；

（2）解：从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，

于是

= ，

，

，

从而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P

ξ的数学期望： ．

【解析】（1）由题意有函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；（2）由题意利用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量ξ的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列，以及对函数的零点的理解，了解函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．