Question

11．二项式${（\root{3}{x}-\frac{3}{x}）^n}$的展开式中含有x²项，则n最小时，展开式中所有系数之和为64．

Answer 1

分析 求出展开式的通项公式，求出n的最小值，令x=1，即可求出所有系数之和．

解答 解：展开式的通项公式为${T}_{k+1}={C}_{n}^{k}（\root{3}{x}）^{n-k}•（-\frac{3}{x}）^{k}$=（-3）^k${C}_{n}^{k}$${x}^{\frac{n-4k}{3}}$，
∵展开式中含有x²项，
∴$\frac{n-4k}{3}$=2有解，即n=6+4k，（k=0，1，2…，n），
故当k=0时，n=6为最小，
令x=1，则展开式的所有系数之和为（1-3）⁶=2⁶=64，
故答案为：64．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，根据展开式求出n的最小值是解决本题的关键．