Question

如图，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面．

（1）求证：平面；

（2）当时，求直线与平面所成角的大小；

（3）当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心？

Answer 1

（1）证明见解析（2）与平面所成的角为．（3）当时，三棱锥为正三棱锥．在平面内的射影为的重心．

解析:

（1）证明：平面，

．

以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

设，则．

设，则．

为的中点，．

，．

，平面．

（2），即，，

可求得平面的法向量．

．

设与平面所成的角为，

则．

与平面所成的角为．

（3）的重心，，

平面，．

又，．

．

，即．

反之，当时，三棱锥为正三棱锥．

在平面内的射影为的重心．