Question

已知向量

m

=(coswx，sinwx)，

n

=(coswx，

3

coswx)，其中0＜w＜2，函数f(x)=

m

n

-

1

2

，直线x=

π

6

为其图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式及其单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(

A

2

)=1，b=2，S_△ABC=2

3

，求a值．

Answer 1

分析：（I）根据向量数量积的坐标运算公式和三角恒等变换公式，化简得

f(x)=sin(2wx+ π 6 )

，利用正弦曲线的对称轴公式解出w=1，得到f（x）的表达式．再根据三角函数单调区间的公式，即可得到函数的单调递减区间；
（II）由（I）求出的表达式，代入f(

A

2

)=1解出A=

π

3

，根据S_△ABC=2

3

利用三角形的面积公式算出c=4，最后利用余弦定理即可解出边a的值．

解答：解：（I）根据题意，可得
∵

m

=(coswx，sinwx)，

n

=(coswx，

3

coswx)，
∴

f(x)= m • n - 1 2 =cos2wx+ 3 sinwxcoswx- 1 2

=

1+cos2wx 2 + 3 2 sin2wx- 1 2 =sin(2wx+ π 6 )

当x=

π

6

时，sin(

wπ

3

+

π

6

)=±1，即

wπ

3

+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
∵0＜w＜2，∴w=1，可得f(x)=sin(2x+

π

6

)，
令kπ-

π

2

≤2π+

π

6

≤kπ+

π

2

，可得2kπ-

2π

3

≤2x≤2kπ+

π

3

，
解之得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．
（II）由（I）可得f(A)=sin(A+

π

6

)=1
∵在△ABC中，A∈（0，π），∴A+

π

6

=

π

2

，解之得A=

π

3

．
∵s△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

，b=2，
∴

1

2

×2×c×sin

π

3

=2

3

，解之得c=4
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得a²=2²+4²-2×4×2×cos60°=12，∴a=2

3

（舍负）．

点评：本题着重考查了向量的数量积公式、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、三角形的面积公式和余弦定理等知识，属于中档题．