精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
20.已知f(x)=|x|+$\frac{m}{x}$-2(x≠0).
(1)当m=2时,判断f(x)在(-∞,0)的单调性,并用定义证明;
(2)若f(2x)>0对x∈R恒成立,求m的取值范围;
(3)讨论f(x)零点的个数.

分析 (1)当m=2,且x<0时,$f(x)=-x+\frac{2}{x}-2$为减函数.运用单调性的定义证明,分取值、作差、变形和定符号、下结论;
(2)由题意可得(2x2-2•2x+m>0,即m>2•2x-(2x2,运用配方法求出右边的最大值,可得m的范围;
(3)由f(x)=0可得x|x|-2x+m=0(x≠0),变为m=-x|x|+2x(x≠0),令g(x)=-x|x|+2x(x≠0),作出y=g(x)和y=m的图象,平移即可得到所求零点个数.

解答 解:(1)当m=2,且x<0时,$f(x)=-x+\frac{2}{x}-2$为减函数…(1分)
证明:设x1<x2<0,则$f({x_1})-f({x_2})=-{x_1}+\frac{2}{x_1}-2-(-{x_2}+\frac{2}{x_2}-2)$
=$({x_2}-{x_1})+(\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2})$=$({x_2}-{x_1})+\frac{{2({x_2}-{x_1})}}{{{x_1}{x_2}}}$…(2分)
=$({x_2}-{x_1})(1+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}})$…(3分)
又x1<x2<0,所以x2-x1>0,x1x2>0,所以$({x_2}-{x_1})(1+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}})>0$,
所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),
故当m=2,且x<0时,$f(x)=-x+\frac{2}{x}-2$为减函数…(4分)
(2)由f(2x)>0得$|{2^x}|+\frac{m}{2^x}-2>0$,变形为(2x2-2•2x+m>0…(5分)
即m>2•2x-(2x2…(6分)
而2•2x-(2x2=-(2x-1)2+1,当2x=1即x=0时(2•2x-(2x2max=1…(7分)
所以m>1…(8分)
(3)由f(x)=0可得x|x|-2x+m=0(x≠0),
变为m=-x|x|+2x(x≠0)
令$g(x)=2x-x|x|=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x,x>0\\{x^2}+2x,x<0\end{array}\right.$…(10分
作y=g(x)的图象及直线y=m,由图象可得:
当m>1或m<-1时,f(x)有1个零点;
当m=1或m=0或m=-1时,f(x)有2个零点;
当0<m<1或-1<m<0时,f(x)有3个零点…(12分)

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明,注意运用定义法,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离法,同时考查函数的零点个数问题,注意运用数形结合思想方法,考查化简运算作图能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

10.已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|,记f(x)的最小值为k.
(1)解不等式:f(x)≤x+1;
(2)是否存在正数a、b,同时满足:2a+b=k,$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=4?若存在,求出a、b的值,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.△ABC中,B(-4,0),C(4,0),|AB|+|AC|=10,则顶点A的轨迹方程是(  )
A.$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1(x≠±3)B.$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1(x≠±5)
C.$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1(x≠±3)D.$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1(x≠±5)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.太原市某时段100辆汽车通过祥云桥时,时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[30,40]的汽车约有(  )
A.30辆B.35辆C.40辆D.50辆

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.已知圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+2=0相切,则动点P(2a,3b)在直角坐标平面xoy内的轨迹方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{36}=1$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

5.设f(x)=ex-x-2,则函数f(x)的零点所在区间是(  )
A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.已知向量$\overrightarrow{a}$=(3,2),$\overrightarrow{b}$=(-1,2),且$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{c}$>0,|$\overrightarrow{c}$|=3.
(Ⅰ)求向量$\overrightarrow{c}$的坐标;
(Ⅱ)求|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

3.△ABC的三边长a,b,c和面积S满足S=$\frac{1}{2}$[c2-(a-b)2],若c=2,且2sinAcosC=sinB,则b的值为(  )
A.$\frac{15}{4}$B.$\frac{13}{4}$C.$\frac{12}{5}$D.$\frac{13}{5}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

4.已知向量$\overrightarrow{a}$=(2,3,0),$\overrightarrow{b}$=(-3,0,4),且k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直,则k=$\frac{31}{19}$.

查看答案和解析>>

同步练习册答案