Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，点E、F分别为棱AC与A₁B₁的中点．
（1）求三棱锥A₁-EFC₁的体积；
（2）求异面直线A₁C与EF所成角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先对所求的几何体的体积进行转换，进一步利用体积关系式求出结果．
（2）首先做出异面直线的夹角的平面角，进一步利用余弦定理求出结果．

解答： 解：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，
点E、F分别为棱AC与A₁B₁的中点．
所以：VA1-EFC1=VE-A1FC1=

1

3

S△A1FC1•AA1=

1

3

•

1

2

•A1C1•A1F•AA1=

2

3

． 
（2）取AA₁中点G，联结EG，FG，则EG∥A₁C，
所以，∠FEG是异面直线A₁C与EF所成的角（或其补角），
在△EFG中，EG=FG=

2

，EF=

6

，
所以，cos∠FEG=

EG2+EF2-FG2

2•EF•EG

=

3

2

，
故∠FEG=

π

6

． 
所以，异面直线A₁C与EF所成角的大小为

π

6

．

点评：本题考查的知识要点：锥体的体积转换，余弦定理的应用，异面直线的夹角，属于基础题型．