Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（其中ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递减区间是（　　）

• A． [kπ，$\frac{π}{2}$+kπ]，k∈Z
• B． [-$\frac{π}{2}$+kπ，kπ]，k∈Z
• C． [-$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{4}$+kπ]，k∈Z
• D． [$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{3π}{4}$+kπ]，k∈Z

Answer 1

分析 由题意可得，函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），周期为$2×\frac{π}{2}$=π，再由$\frac{2π}{ω}$=π，可得函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．再由函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x）的图象，求出g（x）=2cos2x，由此能求出g（x）的减区间．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（其中ω＞0）
=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
∵函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，
∴函数的周期为$2×\frac{π}{2}$=π，再由$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
∴函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x）的图象，
∴g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，
∴g（x）的减区间满足2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，
即$π≤x≤\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
∴g（x）的单调递减区间是[kπ，$\frac{π}{2}$+kπ]，k∈Z．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的减区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数的平移变换、三角函数性质的合理运用．