设y=f-1(x)是函数f(x)=2x+1的反函数,若f-1(a)+f-1(b)=0,则a+b的最小值为 .
【答案】
分析:求出原函数的反函数,得到f
--1(x),再结合题中条件方程f
-1(a)+f
-1(b)=0,化简,利用基本不等式求a+b的最小值.
解答:解:∵函数f(x)=2
x+1的反函数为f
--1(x)=log
2x-1,
∴由f
-1(a)+f
-1(b)=0得:
log
2a-1+log
2b-1=0,
∴ab=4,a>0,b>0.
根据基本不等式得:
∴a+b≥2
=4,(当且仅当a=b=2时取等号).
则a+b的最小值是4.
故答案为:4.
点评:本题用到的知识比较丰富,具有综合性特点,涉及了反函数、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式
求最值等多方面的知识,是这些内容的有机融合,思维密度较大;解题中用注意对数的运算公式化简log
2a+log
2b=2得a、b的关系式.