精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

四棱锥O-ABCD中,OB⊥底面ABCD,且数学公式,底面ABCD是菱形;点B在平面OAD内的射影G恰为△OAD的重心.
①求OA的长;
②求二面角B-OC-D的平面角的余弦值.

解:①由题意及题中的条件可以画出以下图形,并利用题中条件建立图示的空间坐标系:

设BH=x,AH=y和题中OB=,有图可得图中的各个点的坐标为:H(0,0,0) D(x,0,0) B(-x,0,0) A(0,y,0) C(0,-y,0) O(-x,0,) M(0,0,
所以利用G为三角形的重心可以得:G(0,),,利用BG⊥平面OAD建立方程为:
??所以有图知AD=2,在直角三角形OBA中:OA=,故OA=
②有①建立的空间坐标系可知:

=
=
=
设平面OBC的法向量为?
设平面OCD的法向量为?
所以
由法向量的夹角与二面角的夹角之间的关系知道:二面角B-OC-D的平面角的余弦值为
故答案为:,所求的二面角的平面角的余弦值为
分析:①由题意及所给的图形抓住底面ABCD是菱形,菱形的对角线互相垂直及题中所给的线面垂直和线段长度,可以建立空间直角坐标系,写出所有点的坐标,利进向量的知识及设BH=x,AH=y,建立x,y的方程而求解;
②有①的求证利用向量求出两半平面的法向量,利用两法向量的夹角与所求的二面角的大小之间的关系进行求解..
点评:①此问重点考查了利用图形特点及已知的条件恰当建立空间直角坐标系,还考查了准确利用条件写出各点的坐标及方程的思想解除OA的长度;
②此问在上一问的基础上,利用空间向量的夹角与二面角之间的关系准确求解.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=
π4
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网在四棱锥O-ABCD中,OA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AB=OA=tBC(t>0).
(I)当t=1时,求证:BD⊥DC;
(II)若BC边有且仅有一个点E,使得OE⊥ED,求此时二面角A-CD-E的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC中点,以A为原点,建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量解答以下问题
(1)证明:直线BD⊥OC
(2)证明:直线MN∥平面OCD
(3)求异面直线AB与OC所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=
π4
,OA⊥底面ABCD,且OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.
(1)证明:直线MN∥平面OCD;
(2)求点N到平面OCD的距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•闸北区二模)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(Ⅰ)求异面直线OC与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点M到平面OCD的距离.

查看答案和解析>>

同步练习册答案