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已知平面内一点P与两个定点数学公式数学公式的距离的差的绝对值为2.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程C;
(Ⅱ)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求直线l的方程.

解:(Ⅰ)根据双曲线的定义,可知动点P的轨迹为双曲线,
其中a=1,,则
所以动点P的轨迹方程C:
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,不满足题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组得(2-k2)x2+4kx-6=0.
因为直线l与曲线C交于A,B两点,
所以
. (*)
由根与系数关系得
因为y1=kx1-2,y2=kx2-2,
所以
因为OA⊥OB,所以,即x1x2+y1y2=0,
所以 (1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0,
所以
即k2=1,解得k=±1,由(*)式知k=±1符合题意.
所以直线l的方程是y=x-2或y=-x-2.
分析:(Ⅰ)由双曲线的定义知该轨迹为双曲线,从而由所给条件可求得其标准方程;
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,不满足题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,与双曲线方程联立消掉y得关于x的一元二次方程,根据韦达定理可用k表示出x1+x2,x1x2,进而表示出y1y2,由OA⊥OB,可得,即x1x2+y1y2=0,从而转化为关于k的方程,解出即可,注意检验所求k值是否符合题意要求;
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线的标准方程的求解,考查学生对问题的转化能力,考查学生利用知识分析问题解决问题的能力,属中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知平面内一点P与两个定点F1(-
3
 , 0)
F2(
3
 , 0)
的距离的差的绝对值为2.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程C;
(Ⅱ)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求直线l的方程.

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(2012•宝鸡模拟)平面内点P与两定点A1(-a,0),A2(A,0)(其中a>0)连线的斜率之积非零常数m,已知点P轨迹C的离心率是
2
2

(1)求m的值;
(2)求椭圆C的右焦点且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点.若O为坐标原点,M为椭圆C上一点,满足
OM
OA
+
OB
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(1)求m的值;
(2)求椭圆C的右焦点且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点.若O为坐标原点,M为椭圆C上一点,满足,求λ的值.

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