Question

【题目】数列{an}的前n项和记为Sn ， a1=t，an+1=2Sn+1（n∈N*）．
（1）当t为何值时，数列{an}为等比数列？
（2）在（1）的条件下，若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3=15，又a1+b1 ， a2+b2 ， a3+b3成等比数列，求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=2Sn+1 ①可得an=2sn﹣1+1 （n≥2）②

两式作差得 an+1﹣an=2anan+1=3an．

因为数列{an}为等比数列a2=2s1+1=2a1+1=3a1a1=t=1．

所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列

∴an=3n﹣1

（2）解：设等差数列{bn}的公差为d，

由T3=15b1+b2+b3=15b2=5，

所以可设b1=5﹣d，b3=5+d．

又a1=1，a2=3，a3=9．

由题得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2．d=﹣10，d=2．

因为等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且b2=5，所以d=﹣10．

解得b1=15，

所以Tn=15n+ =20n﹣5n2

【解析】（1）先由an+1=2Sn+1求出an+1=3an ． 再利用数列{an}为等比数列，可得a2=3a1 ． 就可以求出t值．（2）先利用T3=15求出b2=5，再利用公差把b1和b3表示出来．代入a1+b1 ， a2+b2 ， a3+b3成等比数列，求出公差即可求Tn ．