Question

已知有一正方形ABCD，正方形中心E（0，4），对角线BD的斜率为

3

4

，|AB|=

5 2

3

，定点F（10，4），对于x轴上移动的点P（t，0）作一折线FPQ，使∠FPX=∠QPO，若折线FPQ的PQ部分与正方形ABCD的边界有公共点．
（1）求B，D坐标；
（2）求t的取值范围．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的平行关系

专题：直线与圆

分析：（1）由已知得BD方程为y=

4

3

x+4，|BE|=

5

3

，由此能求出B（-1，

8

3

），D（1，

16

3

）．
（2）由已知得k_PF=

4

10-t

，kPQ=

t-10

4

，PQ方程：（10-t）y=-4x+4t，由k_BP=-k_PF或k_PD=-k_PF，能求出t的取值范围．

解答： 解：（1）∵正方形ABCD中心E（0，4），对角线BD的斜率为

3

4

，
∴BD方程为y=

4

3

x+4，
∵ABCD为正方形，|AB|=

5 2

3

，
∴|BD|=

2( 5 2 3 )2

=

10

3

，|BE|=

5

3

设B（3a，4a+4），E（0，4），…4分
则|BE|²=9a²+16a²=25a²=

25

9

，
解得a=±

1

3

，
∴B（-1，

8

3

），D（1，

16

3

）．…6分
（2）∵∠FPX=∠QPO，
∴直线FP与PQ斜率互为相反数，
∴k_PF=

4

10-t

，kPQ=

t-10

4

，
PQ方程：（10-t）y=-4x+4t，…8分
由BP、PD的斜率k_BP=-k_PF或k_PD=-k_PF
解得t∈[

17

5

，

43

7

]．…12分

点评：本题考查点的坐标的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用．