Question

18．设${（1+\frac{1}{2}x）^m}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_m}{x^m}$，若a₀，a₁，a₂成等差数列．
（1）求${（1+\frac{1}{2}x）^m}$展开式的中间项；
（2）求${（1+\frac{1}{2}x）^m}$展开式中所有含x奇次幂的系数和；
（3）求${（1+\frac{1}{2}x）^{m+6}}$展开式中系数最大项．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项展开式的通项公式，求得a₀、a₁、a₂的值，再根据2a₁=a₀+a₂得到n的值．
（2）在所给的式子中，分别令x=1、x=-1得到2个式子，把这2个式子变形可得展开式中所有含x奇次幂的系数和．
（3）假设第r+1项的系数为${T_{r+1}}=C_{14}^r{（\frac{1}{2}）^r}$，令$\left\{\begin{array}{l}{T_{r+1}}≥{T_r}\\{T_{r+1}}≥{T_{r+2}}\end{array}\right.$，由此求得r的范围，可得r的值，从而求得系数最大项．

解答 19．解：（1）依题意得  ${T_{r+1}}=C_m^r{（\frac{1}{2}）^r}{x^r}$，r=0，1，…m．
则a₀=1，${a_1}=\frac{m}{2}$，${a_2}={C_m}^2{（\frac{1}{2}）^2}$，
由2a₁=a₀+a₂得m²-9m+8=0可得m=1（舍去），或m=8．
所以${（1+\frac{1}{2}x）^m}$展开式的中间项是第五项为：${T_5}=C_8^4{（\frac{1}{2}x）^4}=\frac{35}{8}{x^4}$．
（2）${（1+\frac{1}{2}x）^m}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_m}{x^m}$，
即${（1+\frac{1}{2}x）^8}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_8}{x^8}$．
令x=1则${a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_8}={（\frac{3}{2}）^8}$，
令x=-1则${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+…+{a_8}={（\frac{1}{2}）^8}$，
所以 ${a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}=\frac{{{3^8}-1}}{2^9}=\frac{205}{16}$，所以展开式中含x的奇次幂的系数和为$\frac{205}{16}$．
（3）假设第r+1项的系数为${T_{r+1}}=C_{14}^r{（\frac{1}{2}）^r}$，令$\left\{\begin{array}{l}{T_{r+1}}≥{T_r}\\{T_{r+1}}≥{T_{r+2}}\end{array}\right.$解得：4≤r≤5，
所以展开式中系数最大项为${T_5}=\frac{1001}{16}{x^4}$和${T_6}=\frac{1001}{16}{x^5}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质．注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于基础题．