Question

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＞0）最大值为2，周期为π．
（1）求实数A，ω的值；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象和性质，可得实数A，ω的值．可得f（x）的解析式．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＞0）最大值为2，周期为π．
∵sin（ωx+$\frac{π}{3}$）的最大值为1，
∴A=2．
周期T=π=$\frac{2π}{ω}$，可得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为2．
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$时，f（x）取得最小值为$-\sqrt{3}$
故得当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域为[$-\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是关键，属于基础题．