Question

设，若f（x）=．
（1）求f（x） 的单调区间
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵，
∴f（x）==（x²+6x，5x）•（）=+5x，x∈[0，9]．
∴f′（x）=x²-6x+5，x∈[0，9]．
令f′（x）=x²-6x+5＞0，得0≤x＜1，或5＜x≤9．
令f′（x）=x²-6x+5＜0，得1＜x＜5，
∴f（x） 的单调增区间为[0，1），（5，9]，单调减区间为（1，5）．
（2）令f′（x）=x²-6x+5=0，
得x₁=1，x₂=5，
由（1）知f（x） 的单调增区间为[0，1），（5，9]，单调减区间为（1，5），
∵f（0）=0，f（1）=，f（5）=-，f（9）=45，
∴f（x）的最大值是45，最小值是-．
分析：（1）由，f（x）=，能求出f（x）=+5x，x∈[0，9]．由此能求出f（x） 的单调区间．
（2）令f′（x）=x²-6x+5=0，得x₁=1，x₂=5，由（1）知f（x） 的单调增区间为[0，1），（5，9]，单调减区间为（1，5），由f（0）=0，f（1）=，f（5）=-，f（9）=45，能求出f（x）的最大值和最小值．
点评：本题以函数为载体，考查学生会求函数的单调区间，考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是正确理解极值的含义．