Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足|

F1Q

|=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足

PT

•

TF2

=0，|

TF2

|≠0．
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|

F1P

|=a+

c

a

x；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=b²．若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为（x，y）， 由题设条件知| F1P |= (x+c)2+y2 = (x+c)2+b2- b2 a2 x2 = (a+ c a x)2 ， 由此能够推导出| F1P |=a+ c a x． 证法二：设点P的坐标为（x，y）．记| F1P |=r1，| F2P |=r2， 由r1+r2=2a，r12+r22=4cx，能够推导出| F1P |=r1=a+ c a x． 证法三：设点P的坐标为（x，y）．椭圆的左准线方程为a+ c a x=0， 由椭圆第二定义得 | F1P | |x+ a2 c | = c a ，由此入手推导出| F1P |=a+ c a x． （Ⅱ）解法一：设点T的坐标为（x，y）．当| PT |=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上． 当| PT |≠0且| TF2 |≠0时，由题设条件知T为线段F2Q的中点． 在△QF1F2中，| OT |= 1 2 | F1Q |=a，由此求出点T的轨迹C的方程． 解法二：在推导出T为线段F2Q的中点的基础上，设点Q的坐标为（x'，y'）， 由中点坐标公式和| F1Q |=2a推导出点T的轨迹C的方程． （Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0，y0）使S=b2的充要条件是 x 2 0 + y 2 0 =a2③ 1 2 •2c|y0|=b2．④ 由③得|y0|≤a，由④得|y0|≤ b2 c ．再分类讨论进行求解． 解法二：C上存在点M（x0，y0）使S=b2的充要条件是 x 2 0 + y 2 0 =a2③ 1 2 •2c|y0|=b2．④ 由④得|y0|≤ b2 c ．上式代入③得x02=a2- b4 c2 =（a- b2 c ）（a+ b2 c ）≥0．再分类讨论进行求解．

解答：（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为（x，y）． 由P（x，y）在椭圆上，得| F1P |= (x+c)2+y2 = (x+c)2+b2- b2 a2 x2 = (a+ c a x)2 由x≥a，知a+ c a x≥-c+a＞0，所以| F1P |=a+ c a x 证法二：设点P的坐标为（x，y）．记| F1P |=r1，| F2P |=r2， 则r1= (x+c)2+y2 ，r2= (x+c)2+y2 ． 由r1+r2=2a，r12+r22=4cx，得| F1P |=r1=a+ c a x． 证法三：设点P的坐标为（x，y）．椭圆的左准线方程为a+ c a x=0 由椭圆第二定义得 | F1P | |x+ a2 c | = c a ，即|| F1P = c a |x+ a2 c |=|a+ c a x|． 由x≥-a，知a+ c a x≥-c+a＞0，所以| F1P |=a+ c a x． （Ⅱ）解法一：设点T的坐标为（x，y）． 当| PT |=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上． 当| PT |≠0且| TF2 |≠0时，由| PT |•| TF2 |=0，得 PT ⊥ TF2 ． 又| PQ |=| PF2 |，所以T为线段F2Q的中点． 在△QF1F2中，| OT |= 1 2 | F1Q |=a，所以有x2+y2=a2． 综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2． 解法二：设点T的坐标为（x，y）．当| PT |=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上． 当| PT |≠0且| TF2 |≠0，时，由 PT • TF2 =0，得 PT ⊥ TF2 ． 又，| TF2 || PQ |=| PF2 |，所以T为线段F2Q的中点． 设点Q的坐标为（x'，y'），则 x= x′+c 2 y= y′ 2 . 因此 x′=2x-c y′=2y. ① 由| F1Q |=2a得（x'+c）2+y'2=4a2．② 将①代入②，可得x2+y2=a2． 综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2． （Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0，y0）使S=b2的充要条件是 x 2 0 + y 2 0 =a2③ 1 2 •2c|y0|=b2．④ 由③得|y0|≤a，由④得|y0|≤ b2 c ．所以，当a≥ b2 c 时，存在点M，使S=b2； 当a＜ b2 c 时，不存在满足条件的点M． 当a≥ b2 c 时， MF1 =（-c-x0，-y0）， MF2 =（c-x0，-y0）， 由 MF1 • MF2 =x02-c2+y02=a2-c2=b2， MF1 • MF2 =| MF1 |•| MF2 |=cos∠F1MF2， S= 1 2 MF1 • MF2 sin∠F1MF2=b2，得tan∠F1MF2=2． 解法二：C上存在点M（x0，y0）使S=b2的充要条件是 x 2 0 + y 2 0 =a2③ 1 2 •2c|y0|=b2．④ 由④得|y0|≤