Question

已知圆，圆，点P满足
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点Q（1，2）能否做直线AB与P的轨迹交于A、B两点，并且使Q是AB的中点？如果存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y），据题意，得，O₁（-3，0），O₂（3，0）由题意知，整理得出点P的轨迹方程．
（2）假设直线AB存在，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=4．点A、B在动点P的轨迹上，A、B两点的坐标满足双曲线的方程，代入方程后作差即可求出直线AB的斜率，然后得出AB的方程，最后将直线AB的方程与双曲线方程联立，看此方程组是否有解即可．
解答：解：（1）（5分）设P（x，y），据题意，得，O₁（-3，0），O₂（3，0）…（1分）
∵，
∴…（3分）
整理得  （x≠±3）…（5分）（没有范围扣1分）
（2）（7分）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若存在，则x₁+x₂=2，y₁+y₂=4…（1分）
∵点A、B在动点P的轨迹上，
∴…（2分）
∴，
∴…（4分）
此时k_AB=1，
∴AB：y=x+1…（5分）
整理得x²-2x-19=0此时△＞0，
∴这样的直线存在，它的方程为y=x+1…（7分）（没有判断△，扣1分）
点评：本题是平面向量与圆锥曲线相综合的问题，主要考查平面向量基本运算、双曲线求法以及中点弦问题，考查解析几何“设而不求”的技巧．解析几何板块在历届高考中必有一个解答题，而且在以往高考试卷中多以压轴题形态出现；在近年的一些省市高考卷中，解析几何类题目是以中档题形态出现，在备战高考时应留意解析几何这一新动态．